mały|Leonhard Euler, szwajcarski matematyk, którego nazwiskiem zostało nazwane twierdzenie.Twierdzenie Eulera – twierdzenie w teorii liczb będące uogólnieniem małego twierdzenia Fermata na liczby złożone. Podobnie jak małe twierdzenie Fermata, jest ono wnioskiem z zastosowania twierdzenia Lagrange’a dla grupy multiplikatywnej reszt modulo . Po raz pierwszy zostało udowodnione w pracy szwajcarskiego matematyka, Leonharda Eulera, opublikowanej w 1763 roku.
Twierdzenie Niech i będą względnie pierwszymi dodatnimi liczbami całkowitymi. Wówczas
gdzie oznacza liczbę dodatnich liczb całkowitych nie większych od które są z względnie pierwsze. Funkcję nazywa się funkcją Eulera lub tocjentem.
Przykłady Łatwo sprawdzić, że czyli są dokładnie cztery dodatnie liczby całkowite nie większe od które są z względnie pierwsze. Liczby
są oczywiście względnie pierwsze z ponieważ nie są podzielne przez ani przez Twierdzenie Eulera orzeka, że każda z liczb
jest podzielna przez
Jeśli jest liczbą pierwszą, to W tym przypadku twierdzenie Eulera jest równoważne małemu twierdzeniu Fermata.
DowódDowód ten jest przeredagowaną wersją dowodu zawartego w książce Wacława Sierpińskiego Wstęp do teorii liczb.