Stąd też co kończy dowód własności 1.
Załóżmy teraz, że dla pewnej pary takiej, że zachodzi Byłoby wtedy a więc, ponieważ jako liczba względnie pierwsza względem byłoby też wtedy co jest niemożliwe, skoro są różnymi liczbami całkowitymi dodatnimi mniejszymi od Zatem dla każdej pary takiej, że zachodzi co kończy dowód własności 2.
Ponieważ zatem Skoro zaś to również Stąd, ponieważ jest względnie pierwsze z zachodzi
Inny dowód Niech i będą liczbami względnie pierwszymi, a będzie ciągiem liczb naturalnych mniejszych od i względnie z nim pierwszych. Wtedy ciąg z wyrazami wziętymi jest permutacją ciągu Istotnie, dla każdego jest również względnie pierwsze z zatem zachodzi dla pewnego i ponieważ ponadto (bo z założenia i są względnie pierwsze), a zatem elementy ciągu są różne, więc istotnie jest to permutacja.
W związku z tym:
q.e.d.
Zobacz też
małe twierdzenie Fermata funkcja φ funkcja Carmichaela, twierdzenie Wilsona
Przypisy
Linki zewnętrzne Oskar Skibski, Twierdzenie Eulera [w:] Matematyka Dyskretna, kanał autorski na YouTube, 20 maja 2020 [dostęp 2026-01-17] – nagranie w ramach kursu, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW). [dostęp 2024-02-02].
Kategoria:Twierdzenia arytmetyki modularnej Kategoria:Leonhard Euler Kategoria:Teoria podzielności