Przykładowo dzielenie przez daje iloraz równy i resztę Podzielenie przez daje iloraz i resztę równą Ostatecznie podzielenie przez daje zerową resztę, co oznacza, że jest Formalnie można to opisać w następujący sposób:
Ciąg ilorazów powstały podczas algorytmu Euklidesa tworzy ułamek łańcuchowy.
Inne metody Jeśli są niezerowe, to największy wspólny dzielnik i można obliczyć za pomocą najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb:
Keith Slavin pokazał, że dla nieparzystych równość
definiuje funkcję zmiennej zespolonej zaś Wolfgang Schramm udowodnił, że
jest funkcją całkowitą zmiennej dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych gdzie oznacza sumę Ramanujana. Z kolei Marcelo Polezzi wykazał, iż
dla dodatnich liczb całkowitych Donald Knuth dowiódł następującej redukcji:
dla nieujemnych liczb całkowitych z których co najwyżej jedna może być zerem.