Uwaga: Wnętrze i brzeg rozmaitości należy wyraźnie odróżnić od wnętrza i brzegu zbioru w topologii ogólnej.
Rys historyczny Początkowy okres badania rozmaitości jest związany z analizą parametryzacji wielowymiarowej i z badaniami geometrii fizycznego Świata. Dwa sposoby zdefiniowania rozmaitości w przez lokalną parametryzację i przez równania, rozpatrywał GaussGauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827 w w przypadku powierzchni w a w przypadku dowolnego wymiaru Poincare. J. Pluecker badał lokalne współrzędne na rozmaitościach utworzonych z krzywych, powierzchni itp.
Proste operacje 1) Suma topologiczna, czyli topologiczna suma rozłączna niepustej, przeliczalnej rodziny -rozmaitości jest -rozmaitością. Jeżeli wszystkie dodawane rozmaitości były bez brzegu, to suma także jest bez brzegu. Rozmaitość pusta stanowi element neutralny (zerowy) względem operacji sumy topologicznej.
2) Iloczyn kartezjański -rozmaitości z -rozmaitością jest -rozmaitością.