Definicje te zależą już od tego, czy liczby naturalne zaczniemy od zera, czy nie.
Dla liczb z zerem dodawanie, mnożenie i relację porządku wprowadzamy przez aksjomaty:
Pojęcie Aksjomaty Dodawanie 6. 7. Mnożenie 8. 9. Porządek liniowy 10. istnieje takie naturalne że
Podstawiając do równania 9 wartość: uzyskujemy skąd wynika, że jest elementem neutralnym mnożenia.
Zwykle przywykliśmy do zapisywania tej liczby jako 1, stąd można napisać:
Podstawiając do równania 7: uzyskujemy: czyli:
Odstępy pomiędzy każdą liczbą a jej następnikiem są identyczne i równe 1.
Stąd:
Dla liczb naturalnych bez zera dodawanie, mnożenie i relację porządku wprowadzamy przez aksjomaty:
Pojęcie Aksjomaty Dodawanie 6. 7. Mnożenie 8. 9. Porządek liniowy 10. istnieje takie naturalne że lub
Inne aksjomatyki Aksjomat indukcji jest najbardziej problematycznym z aksjomatów Peana. Sprawia on, że aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona w języku pierwszego rzędu, ale za to (jak wykazał Richard Dedekind) jest ona kategoryczna, czyli każde dwa modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.