zob. też mnożenie macierzy., najczęściej jednak „mnożenie macierzy” oznacza tzw. iloczyn Cauchy’ego macierzy (zob. przekształcenia liniowe): dla macierzy typu oraz typu dany jest on jako taka macierz typu oznaczana dla której dla dowolnych
Mnożenie to jest łączne, ale nie jest przemienne; ponadto jest ono obustronnie rozdzielne względem dodawania, a do tego zgodne z mnożeniem przez skalar.
Przestawienie bądź transpozycja danej macierzy tzn. zamiana jej kolumn i wierszy miejscami (z zachowaniem kolejności) pozwala na zwięzłe przedstawienie wielu jej własności; macierz transponowaną lub przestawioną względem macierzy definiuje się jako macierz dla wszystkich
przy czym oraz
Operacjami elementarnymi na macierzy nazywa się operacje: zamiany miejscami dwóch wierszy macierzy, pomnożenia jednego z wierszy przez liczbę różną od zera oraz dodania wiersza macierzy do innego jej wiersza. Macierz elementarna to macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku jednej operacji elementarnej na jej wierszachMacierz elementarna jest macierzą przekształcenia liniowego, którym jest operacja elementarna, por. macierz przekształcenia liniowego..