pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.
W dowolnym nietrywialnym pierścieniu istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień i podpierścień trywialny , nazywa się je ideałami trywialnymi lub niewłaściwymi, wszystkie pozostałe nazywa się ideałami właściwymi.
Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia : ideał główny – generowany przez jeden element pierścienia, ideał maksymalny – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym , ideał pierwszy – taki, że jeśli dany element ideału jest iloczynem dwóch innych, to przynajmniej jeden z nich również należy do ideału.
Elementy wyróżnione Element pierścienia nazywa się dzielnikiem zera, gdy istnieje taki niezerowy element , że: . idempotentnym, gdy . nilpotentnym, gdy istnieje , dla którego .
W pierścieniu skończonym (mającym skończenie wiele elementów) każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.
Homomorfizmy
Przekształcenie między dwoma pierścieniami zachowujące ich działania, tzn. dla dowolnych elementów spełnione są jednocześnie następujące warunki:
nazywa się homomorfizmem pierścieni.