Z dowolności i powyższego oszacowania, całka jest dowolnie mała, co prowadzi do sprzecznościI. Niven, A simple proof that π is irrational, „Bulletin of the American Mathematical Society” 53, 6 (1947), s. 509..
Przestępność mały|320x320px|Przybliżona konstrukcja Kochańskiego
Liczba jest liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach wymiernych, którego jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe przedstawić w postaci wyrażenia zawierającego skończoną liczbę działań arytmetycznych i pierwiastków na liczbach całkowitych.
Przestępność liczby oznacza, że niemożliwa jest kwadratura koła, czyli klasyczna konstrukcja (linijką i cyrklem) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Konstrukcja klasyczna pozwala jedynie znaleźć rozwiązania przybliżone (tzw. konstrukcje przybliżone).