Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie przez jako zwykle zapisuje się to jako
Teoria pierścieni Komutator dwóch elementów i pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako
Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy i są przemienne (komutują). W algebrze liniowej, jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.
Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.
Tożsamości Komutator ma następujące własności:
Wzory dla algebr Liego:
Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.
Dodatkowe wzory:
Jeżeli jest ustalonym elementem pierścienia pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania danego wzorem Innymi słowy, odwzorowanie definiuje różniczkowanie w pierścieniu
Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Campbella-Hausdorffa:
Przykład Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy który przekształca funkcję w jej pochodną oraz który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.