Szereg potęgowy – w analizie matematycznej, szereg funkcyjny postaci
lub
przy czym współczynniki oraz stała są ustalonymi liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Zmienna także może być rzeczywista lub zespolona. Liczba nazywana jest środkiem szeregu.
Uważa się, że pierwszego zastosowania rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy dokonał James Stirling w 1717 roku.
Zbieżność szeregu
Szeregi potęgowe zespolone Każdy szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich wartości należących do pewnego koła otwartego
o środku w punkcie i rozbieżny poza jego domknięciem. Dla szereg może być w pewnych punktach zbieżny a w innych rozbieżny. Liczbę nazywa się promieniem zbieżności szeregu, a koło – kołem zbieżności szeregu.
Jeśli szereg potęgowy jest zbieżny dla każdej wartości to promień zbieżności jest nieskończenie wielki: .
Twierdzenie 1
Promień zbieżności szeregu potęgowego można wyznaczyć ze wzoru: ,
przy założeniu, że powyższa granica istnieje ( zob. Granice dolna i górna nt.