Warunek cyklu zapiszemy zatem jako następujące równanie:
Natomiast warunek rozbieżności do nieskończoności dla dowolnej liczby ujemnej przyjmie postać:
Przykłady Trzy znane pętle dla liczb ujemnych w ciągu Collatza reprezentują następujące równania:
Zaczynając od liczby −1, mamy:
Zaczynając od liczby −5, mamy:
Zaczynając od liczby −17, mamy:
Liczby postaci 3n jako liczby, które się nie zapętlają Dla dowolnej liczby która zapętla się w ciągu Collatza istnieje nieskończenie wiele jej następników oraz poprzedników. Przykładowo w cyklu trywialnym po liczbie jeden następuje nieskończenie wiele jej następników, jednak możemy wyznaczyć również równie wiele jej poprzedników. Hipotetycznie, zgodnie z zapisem diofantycznym ciągu Collatza poprzednikiem dowolnej liczby będzie zawsze jakaś liczba:
Jednakże gdy liczba jest postaci to równanie diofantyczne:
Nie może być spełnione dla żadnej liczby ponieważ prawa strona równania dzieli się przez 3 bez reszty, natomiast lewa nie. Oznacza to, iż żadna liczba postaci nie ma poprzednika w ciągu Collatza, a zatem nie może spełniać również warunków pętli.
Uogólnienie problemu 3x+1