Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu jest zbieżny, to
Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego Iloczyn nieskończony ciągu jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
Jeżeli warunek ten jest spełniony i jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi
Można podać też inne kryteria zbieżności: Jeżeli dla dostatecznie dużych wyrazy ciągu liczbowego są stałego znaku, to iloczyn nieskończony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg Jeżeli zbieżne są szeregi: i to zbieżny jest iloczyn
Iloczyn nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest iloczyn
Warunek Cauchy’ego dla iloczynów: Iloczyn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
Wniosek: Iloczyn jest bezwzględnie zbieżny Szereg jest bezwzględnie zbieżny.
Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone – szczególny przypadek – iloczyn Wallisa:
– funkcja ζ Riemanna, oznacza ciąg liczb pierwszych
– iloczyn Vièta
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-05-31]. Infinite product , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].
Kategoria:Granice Kategoria:Działania arytmetyczne