Do wielu zastosowań (zarówno numerycznych, jak i teoretycznych) warto przedstawić daną macierz w postaci iloczynu kilku macierzy o określonych własnościach. Niektóre z poniższych rozkładów uogólniają się na operatory liniowe.
Diagonalizacja
Diagonalizacja to przedstawienie macierzy w postaci diagonalnej, czyli
gdzie: – macierz diagonalna składająca się z wartości własnych, – macierz odwracalna składająca się z wektorów własnych odpowiadających kolejnym wartościom własnym.
Diagonalizacja działa tylko dla niektórych macierzy kwadratowych (np. symetrycznych i hermitowskich).
Macierz, którą można zdiagonalizować nazywamy macierzą diagonalizowalną.
Rozkład Jordana
Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy w postaci Jordana, czyli
gdzie: – macierz składająca się z klatek Jordana odpowiadającym kolejnym wartościom własnym, – macierz odwracalna;