Unikalność danej algebry jednoznacznie charakteryzują stałe struktury.
(5) Jeżeli wszystkie komutatory są równe zeru, to algebra jest grupą abelową (przemienną).
Przykłady algebr Liego i ich generatorów Algebra Heisenberga H3(R) (a) Jest to 3-wymiarowa algebra Liego o generatorach oraz nawiasach Liego zdefiniowanych następująco:
(b) W przestrzeni macierzy 3×3 generatory te są reprezentowane przez górnotrójkątne macierze:
zaś nawias Liego algebry Heisenberga dany jest przez komutator macierzy.
Elementy grupy Liego odpowiadającej tej reprezentacji algebry Liego są macierzami górnotrójkątnymi postaci:
gdzie a, b, c są liczbami rzeczywisrymi; macierz tę można otrzymać mnożąc przez siebie eksponenty macierzy oraz (utworzonych z generatorów), tj.
Uwaga: Ważna jest tu kolejność mnożenia eksponentów gdyż przedstawiają one macierze, których iloczyn na ogół nie jest przemienny.
Algebra translacji w przestrzeni trójwymiarowej Grupa translacji w przestrzeni trójwymiarowej ma trzy generatory które pozwalają generować translacje odpowiednio w kierunku osi i Generatory te tworzą algebrę Liego o komutatorach:
Jest to więc algebra przemienna.
Algebra so(3) grupy obrotów (1) Grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej ma trzy generatory które pozwalają generować obroty odpowiednio wokół osi i tj.