Dowód własności 2. Ponieważ łamana jako suma odcinków domkniętych (wraz z końcami) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc jest podzbiorem zwartym płaszczyzny i dlatego dla każdego punktu istnieje taki prostokąt że: thumb|350px|Półprosta odpowiadająca punktowi ' ma o 4 punkty przecięcia więcej niż półprosta odpowiadająca punktowi Ich indeksy są takie same.
zbiór zawiera tylko te wierzchołki łamanej, które leżą na prostej
Wtedy dla każdego punktu
bo liczba punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt różni się o co najwyżej parzystą liczbę od liczby punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt
Z obu tych własności wynika, że dopełnienie łamanej jest sumą dwóch zbiorów otwartych W dowolnym otoczeniu każdego punktu łamanej można znaleźć punkty obu tych zbiorów. Dlatego łamana ta jest ich wspólnym brzegiem.
Wniosek Każda łamana zamknięta jest brzegiem pewnej figury ograniczonej. Nazywamy ją wielokątem.
Przypisy
Bibliografia
Jordana-Dehna