Wielomian symetryczny – wielomian który po dowolnej permutacji zmiennych dla dowolnie wybranych zmiennych będzie przyjmował takie same wartości, jak przed permutacją.
Definicja formalna Niech będzie dowolnym wielomianem zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy podstawiać jedne za drugie za pomocą permutacji zbioru -elementowego:
i otrzymać w ten sposób nowy wielomian Jeżeli:
dla dowolnej permutacji to nazywamy wielomianem symetrycznym.
Wielomiany stałe są symetryczne. Podobnie symetryczna jest suma, różnica oraz iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych. Innymi słowy, wielomiany symetryczne tworzą pierścień
a nawet algebrę nad ciałem (lub pierścieniem) współczynników wyjściowego pierścienia wielomianów.
Przykłady wielomianów symetrycznych Następujące wielomiany są symetryczne:
Każdy jednomian postaci gdzie jest symetryczny.
Przykłady wielomianów, które nie są symetryczne Zgodnie z definicją, żeby udowodnić, że dany wielomian nie jest symetryczny, należy podać przykład permutacji σ, w wyniku której otrzymany wielomian jest różny od wielomianu (zobacz: kontrprzykład).
Dla przykładu udowodnimy, że wielomian
nie jest symetryczny.
Rozważmy permutację
Otrzymujemy wielomian
Współczynnik przy wynosi 1 dla ale 0 dla Zatem więc wielomian nie jest symetryczny.