Rozumowanie opiera się na następującym fakcie: każda liczba rzeczywista ma swoje rozwinięcie dziesiętne z zerową cyfrą jednościDla x=1 przyjmujemy rozwinięcie 0,(9)=0,99999... (zob. 0,(9))., skończone lub nie. Jeśli jest ono skończone, to uzupełniamy rozwinięcie o nieskończoną ilość zer tak, by otrzymać rozwinięcie formalnie nieskończone. Jest też odwrotnie – każdy ciąg cyfr po przecinku reprezentuje pewną liczbę rzeczywistąAle liczba o skończonym rozwinięciu oraz liczba ze zmniejszoną ostatnią znaczącą cyfrę o 1 i uzupełnioną cyframi 9 reprezentują tę samą liczbę rzeczywistą, np. 0,416=0,415(9)..
Załóżmy, że możemy ponumerować wszystkie liczby rzeczywiste liczbami naturalnymi, czyli ustawić je w nieskończony ciąg. Na przykład w ten sposób:
0, 2 6 7 8 8 8 9 2 8 7 1 7 7 4 3 ... 0, 2 7 1 6 7 3 8 2 0 9 8 3 0 9 8 ... 0, 2 1 9 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ... 0, 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 2 2 ... 0, 2 1 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 ... 0, 9 5 4 1 1 2 1 2 2 8 9 3 4 5 7 ... 0, 7 3 9 2 0 8 3 9 6 7 1 6 2 6 3 ... ...