Jego założenia wymagają uzasadnienia, jednak Euler uznał, że jeżeli jego wynik jest zgodny z wynikiem uzyskanym obliczeniowo, to wystarczy, by ogłosić rezultat swojej pracy w środowisku matematycznym.
Dowód Eulera opierał się na rozwinięciu w szereg Taylora funkcji sinus:
Dzieląc stronami przez x otrzymujemy:
Miejsca zerowe funkcji występują w gdzie
Załóżmy teraz, że możemy wyrazić ten szereg potęgowy jako iloczyn czynników liniowych, tak jak to robimy ze skończonymi wielomianami:
Gdybyśmy przemnożyli ten iloczyn i zebrali wszystkie składniki zawierające zobaczylibyśmy, że współczynnik przy drugiej potędze rozwinięcia jest równy:
Jednak w oryginalnym rozwinięciu funkcji w szereg, współczynnik przy jest równy −1/(3!) = −1/6. Te dwa współczynniki muszą być sobie równe, zatem:
Mnożąc stronami przez otrzymujemy ostateczny wynik:
Q.e.d.
Uogólnienia Euler uogólnił pierwotne zagadnienie. Jego pomysły podjął w 1859 roku Bernhard Riemann w pracy Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Zdefiniował tam funkcję dzeta (ζ) i udowodnił jej podstawowe własności.