Zaawansowane konstrukcje W nowoczesnej algebraicznej teorii liczb wykorzystuje się struktury globalne i lokalne do badania własności ciał. Kluczowe znaczenie ma m.in.:
– topologiczne uzupełnienie ciała liczbowego względem wszystkich jego wartościowań (archimedesowych i -adycznych), co pozwala na stosowanie analizy harmonicznej w teorii liczb. Grupa ideli – grupa elementów odwracalnych pierścienia adeli, stanowiąca fundament teorii ciał klas, która opisuje abelowe rozszerzenia danego ciała.
Zastosowania Współcześnie algebraiczna teoria liczb stanowi fundament nowoczesnego bezpieczeństwa cyfrowego:
Kryptografia klucza publicznego: Algorytmy takie jak RSA bazują na trudności faktoryzacji dużych liczb całkowitych, do czego stosuje się algorytmy z algebraicznej teorii liczb (np. sito ciała liczbowego – NFS). Protokół Diffiego-Hellmana i ECC: Wymiana kluczy i podpisy cyfrowe opierają się na trudności obliczenia logarytmu dyskretnego w skończonych grupach cyklicznych oraz na krzywych eliptycznych nad ciałami skończonymi. Kryptografia postkwantowa: W odpowiedzi na zagrożenie ze strony komputerów kwantowych (które dzięki algorytmowi Shora mogłyby złamać standardy RSA i ECC), bada się obecnie