W teorii kategorii funktor to odwzorowanie jednej kategorii do drugiej zachowujące złożenia i morfizmy tożsamościoweO historii wprowadzenia terminu funktor w teorii kategorii pisze Zbigniew Semadeni w artykule Creating new concepts in mathematics: freedom and limitations. The case of Category Theory, Zagadnienia Filozoficzne w Nauce 69 (2020), s. 49–50.. Można o nim myśleć jako o homomorfizmie wyższego rzędu. Ważne jest rozróżnienie dwóch typów funktorów: kowariantnych i kontrawariantnych.
Pojęcie kategorii, funktora i naturalnych transformacji funktorów wprowadzili do matematyki Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane w 1945Eilenberg, S. i Mac Lane, S., 1945, “General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of the American Mathematical Society, 58: s. 231–294; https://web.archive.org/web/20140907123850/http://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf.
Definicje Funktor (czyli funktor kowariantny) z kategorii do to dwa przyporządkowania: jedno z nich, przyporządkowanie obiektowe z do które każdemu obiektowi kategorii przyporządkowuje obiekt kategorii drugie zaś, przyporządkowanie morfizmowe z do które każdemu morfizmowi kategorii przyporządkowuje morfizm kategorii