Twierdzenie Banacha-Alaoglu (także twierdzenie Alaoglu, twierdzenie Banacha-Alaoglu-Bourbakiego lub twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego) – w analizie funkcjonalnej twierdzenie mówiące, że domknięta kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej jest zwarta w *-słabej topologii; bądź ogólniej, zbiór polarny otoczenia zera przestrzeni liniowo-topologicznej jest *-słabo zwarty.
Nazwa twierdzenia honoruje polskiego matematyka Stefana Banacha, który opublikował jego szczególny przypadek (dla ośrodkowych przestrzeni unormowanych) w 1932 roku oraz kanadyjskiego matematyka Leonidasa Alaoglu, który opublikował w 1940 rokuL. Alaoglu, Weak topologies of normed linear spaces, „Ann. of Math” (2) 41, (1940), s. 252–267. pierwszy dowód przypadku ogólnego.
Twierdzenie Banacha-Alaoglu Najczęściej stosowaną wersją twierdzenia Banacha-Alaoglu jest ta dotycząca zwartości kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej.
Dla przestrzeni unormowanych Niech będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas kula jednostkowa w przestrzeni tj.