dla pewnego przy czym element ten jest wyznaczony jednoznacznie przez zatem może być traktowany jako funkcja zmiennej więcej, z powyższego wzoru wynika, że zależność ta jest liniowa, co oznacza, że zbiór elementów wskazanych w tym wzorze przy ustalonym tworzy przestrzeń liniową.
Zdefiniowana wyżej podprzestrzeń jest domknięta. Otóż przyjmując otrzymuje się
co przy zastosowaniu eliptyczności do lewej, a nierówności Schwarza do prawej strony tej równości i podzieleniu jej przez daje oszacowanie
Niech będzie ciągiem wyznaczanym przez zaś będzie ciągiem odpowiadającym poprzedniemu poprzez wzór
wtedy odejmowanie i półtoraliniowość (dwuliniowość) dają co przy podanym wyżej oszacowaniu daje, iż skąd zbieżność pociąga, że jest ciągiem Cauchy’ego; zupełność daje zbieżność Ograniczoność zapewnia o zbieżności zaś nierówność Schwarza prowadzi do zbieżności (tzw.