Udowodniono szereg twierdzeń o punkcie stałym – o istnieniu takich argumentów dla pewnych funkcji. Pierwsze z nich ogłoszono najpóźniej na początku XX wieku; przykładowo z 1910 roku pochodzi twierdzenie BrouweraL.E.J. Brouwer, Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich, „Math. Ann.”, 69 (1910), s. 176–180.. Podano też twierdzenia mówiące, że to zbiór ma własność punktu stałego w sensie topologii; przykład to twierdzenie Schaudera-Tichonowa. W latach 20. XXI wieku istnieje osobne czasopismo poświęcone takim zagadnieniomJournal of Fixed Point Theory and Applications, springer.com [dostęp 2023-08-25]..
Miejsce wśród innych dyscyplin Teoria punktów stałych nie jest osobną kategorią w spisie MSC 2020, jednak są w nim działy zawierające w nazwie punkty stałe, m.in. w sekcjach: 32: Several complex variables and analytic spaces, 32H: Holomorphic mappings and correspondences, 37: Dynamical systems and ergodic theory, 37C: Smooth dynamical systems: general theory, 37J: Dynamical aspects of finite-dimensional Hamiltonian and Lagrangian systems, 47: Operator theory, 54: General topology, 55: Algebraic topology,