Niech Empiryczna funkcja wpływu obserwacji jest zdefiniowana jako:
Funkcja ta pokazuje zatem zależność od wyników estymatora po zastąpieniu i-tej obserwacji przez
Funkcja wpływu i krzywa wrażliwości W drugim podejściu zamiast sprawdzać wpływ zmiany pojedynczej obserwacji na wynik estymacji, badany będzie wpływ punktowego zaburzenia na rozkład.
Niech będzie asymptotycznie nieobciążonym estymatorem pewnego parametru rozkładu spełniającego założenia modelu.
Niech będzie pewnym rozkładem który nie spełnia założeń modelu statystycznego, różni się jednak nieznacznie od
Wpływ na estymator przejścia z na jest wyrażony wzorem:
który jest pochodną kierunkową w punkcie w kierunku
Niech będzie miarą prawdopodobieństwa o masie 1 skupionej w punkcie Wybieramy Funkcja wpływu jest zdefiniowana przez:
Wzór ten opisuje wpływ infinitezymalnej zmiany w punkcie na poszukiwaną estymatę, standaryzowany masą zaburzenia (asymptotyczne obciążenie estymatora spowodowane przez zanieczyszczenie obserwacji).
Pożądane właściwości Właściwości funkcji wpływu, charakteryzujące najbardziej odporne estymatory: skończony punkt odrzucenia (ang. rejection point) mała maksymalna wrażliwość na błędy (ang. gross-error sensitivity) mała wrażliwość na lokalne przesunięcie (ang. local-shift sensitivity)
Punkt odrzucenia
Maksymalna wrażliwość
Wrażliwość na lokalne przesunięcia