Początkowo był rezerwowym jako zmiennik Troelsa Rasmussena, ale zagrał na tym turnieju w dwóch ostatnich meczach - z Niemcami (2:0 dla Danii) i w ćwierćfinale z Hiszpanią (5:1 dla Hiszpanii; cztery gole zdobył Emilio Butragueno).
W 1986 zdobył nagrodę Det Gyldne Bur, przeznaczoną dla najlepszego bramkarza w lidze duńskiej. Mimo to w reprezentacji nie grał zbyt często, bowiem pierwszym bramkarzem został Peter Schmeichel (ogólnie na ławce rezerwowych podczas meczów reprezentacji Danii Høgh siedział przez ponad 100 meczów).
Høgh bronił dalej w OB. Drużyna ta zdobyła tytuł mistrzowski w 1989, a Puchar Danii w latach 1991 i 1993. W latach 1989 oraz 1992–1994 zdobywał nagrodę Det Gyldne Bur, dzięki czemu ustanowił niepobity do dziś rekord pięciu trofeów Det Gyldne Bur (najbliżej wyrównania tego rekordu byli Peter Schmeichel, Karim Zaza i Jesper Christiansen, którzy tę nagrodę zdobyli trzykrotnie). Pod nieobecność Schmeichela był wyznaczony podstawowym bramkarzem reprezentacji podczas Pucharu Konfederacji w 1995. W meczu z Meksykiem odniósł kontuzję i został zastąpiony przez Mogensa Krogha. Ostatecznie Dania wygrała ten turniej.