Na przykład dla wzoru Cauchy’ego (z resztą całkową) otrzymuje się

Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaci Operator różniczki cząstkowej -tego rzędu zmiennych zapisuje się formalnie jako

Całkowanie przez części Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie jest

Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.

Przykładowe twierdzenie Jeżeli są wielowskaźnikami, a to

Dowód Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli wtedy

Załóżmy, że Wtedy

Dla każdego funkcja zależy wyłącznie od Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego Stąd z równania (1) wynika, że znika, jeśli dla przynajmniej jednego W przeciwnym wypadku, tzn. gdy jako wielowskaźniki, wtedy

dla każdego skąd wynika twierdzenie.

Bibliografia Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Rozdział 1.1. CRC Press. .

Kategoria:Kombinatoryka Kategoria:Oznaczenia matematyczne