Po zajęciu Modeny przez wojska Napoleona i utworzeniu Republiki Cisalpińskiej Ruffini wszedł w skład jej rady. Jednak już w 1798 wrócił na krótko do pracy naukowej na uniwersytecie w Modenie. Zobowiązany do złożenia przysięgi na wierność Republice, odmówił z pobudek religijnych, w wyniku czego pozbawiono go stanowiska i zakazano nauczania.
Pozbawiony uciążliwych obowiązków, Ruffini więcej czasu poświęcał medycynie i własnym badaniom matematycznym, a w szczególności próbie dowodu, że równanie algebraiczne stopnia piątego w postaci ogólnej nie daje się rozwiązać.
Problem ten był badany już od około 300 lat, gdy del Ferro, Tartaglia, Cardano i Ferrari podali wzory na rozwiązanie równań stopni 3 i 4. W tym czasie zajmowali się nim matematycy tej miary co Bézout, Euler i Lagrange, prawdopodobnie jednak to Ruffini wpadł na pomysł, że wzory takie nie istnieją.
Ruffiniemu udało się rozwiązać problem dzięki wykorzystaniu teorii grup permutacji, stworzonej przez Lagrange’a. Ruffini wprowadził do niej nowe pojęcia: rząd elementu grupy, łączność działania, rozkład permutacji na cykle. Podał pięć różnych dowodów twierdzenia, zwanego dziś twierdzeniem Abela-Ruffiniego.