Uwaga. Równoważnie, podpierścieniem pierścienia nazywa się algebrę ogólną , gdzie , przy czym oraz oznaczają zawężenia odpowiednich działań pierścienia , do zbioru .
Uwaga. Podzbiór nie może być pusty, ponieważ musi być podgrupą , zatem musi zawierać element neutralny dodawania (zero).
Związek z ideałami Ideał właściwy nie może być podpierścieniem, jeśli wymaga się, by miał jedynkę, gdyż musiałby być on wtedy całym pierścieniem. Przykładowo, ideały w są postaci gdzie jest liczbą całkowitą. Są one podpierścieniami wtedy i tylko wtedy, gdy (w innych przypadkach nie zawierają jedynki), kiedy to są całym
Jeżeli pominąć wymaganie, aby pierścienie miały jedynkę, to podpierścienie muszą zawierać wyłącznie zero oraz być zamknięte ze względu na odejmowanie i mnożenie – w ten sposób ideały stają się podpierścieniami. Ideały mogą, ale nie muszą mieć własnej jedynki (różnej od jedynki pierścienia): ideał pierścienia z dodawaniem i mnożeniem po współrzędnych ma jedynkę , która jest różna od jedynki pierścienia. W ten sposób jest pierścieniem z jedynką, a zarazem „podpierścieniem bez jedynki” pierścienia ; ideały właściwe (np.