(Powyższe reguły komutacyjne są konsekwencją powyżej podanej fundamentalnej reguły komutayjnej pomiędzy operatorami położenia i pędu).
Operator Hamiltona wyrażony przez te operatory przyjmuje postać:
przy czym ostatni wzór uzyskuje się, wykorzystując własność Niech (w zapisie Diraca) oznacza stan własny oscylatora o energii Ponieważ szukane są stany stacjonarne oscylatora, to należy rozwiązać równanie Schrödingera bez czasu:
Aby to zrobić, zostanie najpierw pokazane, jak operatory kreacji i anihilacji działają na stany oscylatora.
Działanie operatorów kreacji i anihilacji na stany własne oscylatora Mnożąc powyższe równanie z lewej strony przez otrzymuje się:
Korzystając z komutatora dostaniemy:
i stąd:
czyli
Wynika stąd, że stany są stanami własnymi operatora Hamiltona, którym odpowiadają wartości własne Inaczej patrząc na ten wynik, można powiedzieć, że operator działając na dowolny stan tworzy stan o energii powiększonej o kwant względem energii stanu, na który działa.