Twierdzenie o zbiorze wypukłym – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że każdy niepusty zbiór domknięty i wypukły w przestrzeni Hilberta zawiera jeden i tylko jeden element o najmniejszej normie.
Wynik ten znajduje zastosowanie m.in. w dowodzie twierdzenia o rzucie ortogonalnym mającym swoje implikacje np. w rachunku prawdopodobieństwa (wykorzystywanym w jednym z dowodów istnienia warunkowej wartości oczekiwanej). Twierdzenie o zbiorze wypukłym lub, równoważnie, wynikające z niego twierdzenie najlepszej aproksymacji daje stosunkowo krótki dowód twierdzenia Brouwera o punkcie stałym dla dowolnego przekształcenia zwartego zbioru wypukłego w siebie (-wymiarowa przestrzeń euklidesowa jest przestrzenią Hilberta).
Dowód Niech będzie niepustym, domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta zaś oznacza infimum norm elementów tego zbioru.
Jednoznaczność Niech będą dwoma elementami, które spełniają z (zachodzącej w ) reguły równoległoboku zastosowanej do wynika, że
a ponieważ jest wypukły, to czyli
co oznacza, iż gdyż prawa strona jest równa zeru.