(Ściśle wektory nie tworzą bazy przestrzeni Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem, gdyż przestrzeń taka jest ośrodkowa, co sprawia, że każda baza ortonormalna musi być przeliczalna, zaś zbiór jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ignorowanie tego faktu nie prowadzi zazwyczaj do nieprawdziwych wniosków. Jednak każde obliczenia, w których traktuje się jako wektory bazy ortonormalnej, wymagają szczególnej ostrożności).
Dowolny stan przestrzeni Hilberta możemy teraz rozłożyć w bazie wektorów własnych następująco
Wielkość jest funkcją falową stanu w reprezentacji pędowej, odpowiadającą wartości pędu
Korzystając z bazy wektorów własnych działanie danego operatora na stan możemy obliczyć następująco:
Stan pod wpływem działania operatora przechodzi więc w inny stan który jest sumą (całką) po stanach z amplitudami Oznacza to, że np.