Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera Niech mamy podwójny iloczyn wektorowy napisanej jako wzór w punkcie i zdefiniujmy wektory bazy kartezjańskiej prostokątnego układu współrzędnych wedle następującego sposobu:

Wtedy odpowiedniki wektorów występującej we wspomnianym wzorze na podwójny iloczyn wektorowy są w postaci:

Wektory możemy podstawić do wspomnianego powyżej wzoru, wtedy mamy:

Ponieważ wektory są wektorami bazy kartezjańskiej, zatem wedle wzoru możemy napisać:

Jeśli wykorzystamy związek , i że wektory są ortonormalne, wtedy przy pomocy symboli Leviego-Civity i symboli Kroneckera równość wynikająca z możemy napisać następująco:

Zastosowanie symbolu Leviego-Civity w przykładach Aby pokazać zastosowania symbolu Leviego-Civity udowodnijmy dla przykładu dwa poniższe twierdzenia:

Dowód twierdzenia opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu.

Dowód twierdzenia też opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu, a także rozwinięcia iloczynu skalarnego poprzez wzór .

Przykłady z powodu powtarzającej się wartości indeksu (wystarczy wziąć oraz w powyższej definicji), gdyż jest parzystą permutacją gdyż jest parzystą permutacją gdyż jest nieparzystą permutacją

Zobacz też konwencja sumacyjna Einsteina permutacja tensor

Kategoria:Wyznaczniki