Miał sześć lat, gdy wraz z rodziną przeprowadził się do Wichita w stanie Kansas, gdzie jego ojciec pracował w firmie Boeing Aircraft. Swoje dzieciństwo określił mianem „skrajnie dysfunkcyjnego i pełnego przemocy”, ojciec stosował wobec dzieci kary cielesne. Według Johnsona, miał on 12 lat, kiedy stracił dziewictwo ze swoją 16-letnią opiekunką. Rodzice Johnsona rozwiedli się, gdy miał on 12 lat. Mieszkał z matką, młodszą siostrą i dwoma młodszymi braćmi do trzynastego roku życia, kiedy to trafił przed sąd dla nieletnich i został wysłany do ojca w stanie Missouri. W ostatnim roku nauki w szkole średniej wrócił do rodzinnego Wichita, gdzie pracował w niepełnym wymiarze godzin jako praktykant u rzeźnika oraz sprzedawca obuwia damskiego.
W 1967 ukończył Wichita South High School, gdzie po usunięciu ze szkolnej drużyny futbolowej, Johnson zapisał się na zajęcia teatralne, aby zdobyć punkty niezbędne do uzyskania dyplomu. Zachęcony przez nauczyciela, zagrał główną rolę Tony’ego w musicalu West Side Story. Poznał również twórczość Moliera, Tennessee Williamsa i Szekspira. Podczas ostatniego semestru wziął udział w przesłuchaniu do letniego programu teatralnego na Uniwersytecie Kansas, gdzie po przyznaniu stypendium, w latach 1966–68 studiował na kierunku teatralnym.