W szczególności rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany do całkowania pracy, strumieni pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzących przez powierzchnię, potencjałów pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.
Formy różniczkowe różnią się od pozostałych pól tensorowych także tym, że można zdefiniować ich różniczkowanie bez potrzeby wprowadzania koneksji na rozmaitości. Jest to tzw. pochodna zewnętrzna formy różniczkowej.
Formy różniczkowe na zbiorach otwartych w Rn Definicja Niech będzie zbiorem otwartym. Przestrzenią styczną do w punkcie nazwiemy Oczywiście ma strukturę przestrzeni liniowej dla każdego Niech oznacza przestrzeń liniową form antysymetrycznych na Formą różniczkową na nazwiemy funkcję taką, że dla każdego . Zbiór -form różniczkowych na oznaczamy
Uwagi (1) Innymi słowy forma różniczkowa na zbiorze otwartym to funkcja, która punktom zbioru otwartego przyporządkowuje formy antysymetryczne na
(2) Definicja może się wydawać przerostem formy nad treścią, ale pozwala na bardzo daleko idące uogólnienia.
(3) Funkcje rzeczywiste klasy na utożsamia się z -formami kładąc
Struktura modułu W można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej nad definiując działania punktowo