Bükszegi grał w Ferencvárosi TC do lipca 2000 roku. W sezonie 1999/2000, jego klub zajął piąte miejsce w tabeliTabela Ligi Węgierskiej 1999-00 na stronie RSSSF., a w Pucharze UEFA 1999/00, po wygranej z mołdawskim Constructorul Kiszyniów (3:1 i 1:1), odpadł w rozgrywek, przegrywając z czeskim FK Teplice (1:3 i 1:1). Końca kolejnego sezonu Bükszegi nie doczekał. Rozegrał w sumie dwadzieścia sześć spotkań dla Ferencvárosi TC i zdobył dziewięć bramek.
Od połowy roku 2000 zawodnik ten rozgrywał mecze w kolejnym klubie z Budapesztu – MTK Hungária, który w sezonie 2000/01 zajął pierwsze miejsce w grupie B ekstraklasy węgierskiej, odpadłszy jednak w ćwierćfinale Pucharu WęgierTabela Ligi Węgierskiej 2000-01 na stronie RSSSF.. Klub grał też w rozgrywkach Pucharu UEFA 2000/01, gdzie przegrał w drugiej rundzie kwalifikacyjnej z francuskim FC Nantes (0:1 i 1:2)Rozgrywki Pucharu UEFA 2000/01 a stronie RSSSF.. Podczas swego pierwszego sezonu Bükszegi zagrał w dwudziestu siedmiu spotkaniach i zdobył cztery bramki. Mimo to nie pozostał w klubie zbyt długo, w styczniu 2002 roku opuścił klub, rozegrawszy w sumie trzydzieści cztery spotkania, w których zdobył cztery bramki.