każdy taki przeskok odpowiadałby atomowi w mierze. Jednakże żaden z niestałych fragmentów rozkładu Cantora nie może być również przedstawiony jako całka funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Całkując dowolną funkcję gęstości prawdopodobieństwa, która nie jest prawie wszędzie równa zero, na dowolnym przedziale, da nam dodatnie prawdopodobieństwo dla pewnego przedziału, któremu rozkład Cantora przydziela prawdopodobieństwo zerowe.
Funkcja Cantora jest klasycznym przykładem funkcji osobliwej.
Funkcja Cantora jest funkcją monotonicznie niemalejącą, co pociąga za sobą, że jej wykres jest krzywą prostowalną. Długość łuku wykresu wynosi 2.
Inne definicje Konstrukcja iteracyjna right|250px
Poniżej definiujemy ciąg funkcji na przedziale jednostkowym, zbieżny do funkcji Cantora.
Niech
Następnie dla każdej liczby całkowitej kolejną funkcję wyrażamy za pomocą następująco:
Powyższe trzy przyporządkowania są zgodne w punktach granicznych 1/3 oraz 2/3, gdyż i dla każdego poprzez indukcję. Można sprawdzić, że jest zbieżne punktowo do funkcji Cantora zdefiniowanej powyżej. Ponadto zbieżność ta jest jednostajna.