W 1984 roku wystartował na igrzyskach olimpijskich w Sarajewie, zajmując dziewiąte miejsce w jedynkach i szóste w dwójkach. Na rozgrywanych cztery lata później igrzyskach w Calgary nie wystąpił z powodu choroby, jednak podczas igrzysk w Albertville w 1992 roku razem z Rafflem zdobył brązowy medal w dwójkach. Na tych samych igrzyskach Huber był też czwarty w jedynkach, przegrywając walkę o podium z Austriakiem Markusem Schmidtem o 0,031 sekundy. Medal przywiózł także z igrzysk w Lillehammer w 1994 roku, gdzie w dwójkach zajął drugie miejsce. Wystąpił także w jedynkach, zajmując tym razem szóstą pozycję. Brał również udział w igrzyskach olimpijskich w Nagano w 1998 roku, gdzie w jedynkach był dziesiąty.
W Pucharze Świata siedemnastokrotnie zajmował miejsce na podium klasyfikacji generalnej, zdobywając Kryształową Kulą jedenaście razy (osiem razy w dwójkach i trzykrotnie w jedynkach). Na swoim koncie ma 26 wygranych zawodów. Pozostaje jedynym zawodnikiem, któremu udało się wygrać zarówno w jedynkach i dwójkach, na dodatek czyniąc to w jednym sezonie (1984/1985 i 1985/1986). Poza tym w jedynkach wygrał także w sezonie 1986/1987, a w dwójkach był też najlepszy w sezonach 1982/1983, 1988/1989, 1989/1990, 1990/1991, 1991/1992 oraz 1992/1993.