dla każdego takiego, że zachodzi gdzie oznacza miarę Lebesgue’a na Funkcja jest bezwzględnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła, ma ograniczone wahanie i spełnia warunek Łuzina.
Przykłady Następujące funkcje są wszędzie ciągłe, ale nie bezwzględnie ciągłe: funkcja Cantora, funkcja określona na skończonym przedziale zawierającym początek dana wzorem
funkcja na przedziale nieograniczonym.
Uogólnienia Niech będzie przestrzenią metryczną, zaś będzie przedziałem na prostej rzeczywistej Funkcja jest bezwzględnie ciągła na jeżeli dla każdej liczby dodatniej istnieje liczba dodatnia taka, że o ile skończony ciąg parami rozłącznych podprzedziałów przedziału spełnia
to
Zbiór wszystkich funkcji bezwzględnie ciągłych w oznaczany jest symbolem Dalszym uogólnieniem jest przestrzeń krzywych takich, żeAmbrosio, Gigli i Savaré 2005, definicja 1.1.1 na stronie 23.
dla pewnego w przestrzeni Lp(I).
Własności uogólnień Każda funkcja bezwzględnie ciągła jest jednostajnie ciągła, a więc i ciągła.