Wzór Leibniza – wzór pozwalający obliczyć -tą pochodną iloczynu funkcji. Został wprowadzony przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza.
Wzór Niech i będą funkcjami różniczkowalnymi i mającymi pochodne aż do rzędu włącznie. Wtedy pochodna -tego rzędu iloczynu wyraża się wzorem:
gdzie to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy), a Wzór ten możemy też przedstawić, używając notacji wielowskaźnikowej:
Dowód Wzór
udowodnimy, używając indukcji matematycznej (zupełnej) ze względu na
Dla otrzymujemy:
Teraz udowodnimy ten wzór dla przy założeniu, że jest on spełniony dla
Weźmy teraz dla pierwszego członu
Uogólnienie Istnieje podobny wzór, zachodzący dla funkcji różniczkowalnych i mających pochodne aż do -tego rzędu włącznie. Pochodna -tego rzędu iloczynu wyraża się wzorem:
gdzie
oznacza współczynnik multimianowy. Sumowanie we wzorze odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych (łącznie z 0), których suma daje
Dowód Dowód przeprowadzimy poprzez indukcję ze względu na Dla wzór staje się zwykłym wzorem Leibniza :
Zakładamy więc, że wzór zachodzi dla pewnej liczby naturalnej Udowodnimy, że wynika z niego wzór dla funkcji Na początek zapiszmy
Skorzystajmy teraz ze zwykłego wzoru Leibniza dla dwóch funkcji, oraz