Twierdzenie o ideale pierwszym – twierdzenie teorii krat rozdzielnych.
Twierdzenie Twierdzenie o ideale pierwszym najczęściej używane jest w kontekście związanym z algebrami Boole’a jednak jego najogólniejsza wersja odnosi się do krat rozdzielnych: Niech będzie kratą rozdzielną. Jeśli jest filtrem i to istnieje ideał pierwszy rozłączny z i zawierający thumb|Diagram Hassego kraty M3, w której żaden ideał nie jest pierwszy Założenie rozdzielności kraty jest istotne, na przykład w kracie potocznie zwanej diamentem, żaden ideał nie jest pierwszy.
Bardziej rozpowszechnioną wersją tego twierdzenia jest tzw. BPI (od ang. Boolean prime ideal theorem), które brzmi następująco: W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał pierwszy.
Ponieważ dualizacja algebry Boole’a jest algebrą Boole’a, a ideały i filtry są pojęciami dualnymi, to można sformułować inne, równoważne, wersje BPI: W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał/filtr maksymalny (w algebrach Boole’a pojęcia ideału/filtru pierwszego i maksymalnego pokrywają się). W algebrze Boole’a każdy filtr właściwy zawarty jest w pewnym ultrafiltrze (ultrafiltr – inna nazwa filtru maksymalnego).
Dowód (z wykorzystaniem lematu Kuratowskiego-Zorna) Niech będą takie, jak w twierdzeniu. Niech dalej