gdzie oznacza sprzężenie zespolone liczby
(2) Norma wyznaczona przez ten iloczyn zdefiniowana jest naturalnie jako
(3) Metryka (odległość punktów w przestrzeni) ma także naturalną postać
Ze względu na algebraiczną domkniętość ciała pewne aspekty teorii takich przestrzeni okazują się prostsze i bardziej spójne niż dla przestrzeni euklidesowych.
Przykłady przestrzeni unitarnych (1) W przestrzeni liczb rzeczywistych iloczyn skalarny definiuje się wzorem
Przestrzeń jest trywialną (najprostszą) przestrzenią unitarną.
(2) W przestrzeni euklidesowej dla oraz iloczyn skalarny definiuje się wzorem
Przestrzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unitarną.
(3) W przestrzeni funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, całkowalnych z kwadratem na pewnym przedziale iloczyn skalarny danym jest wzorem
Przestrzeń funkcji z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unitarną.
(4) W przestrzeni funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej, całkowalnych z kwadratem na pewnym przedziale iloczyn skalarny danym jest wzorem
gdzie – sprzężenie zespolone liczby
Nierówność Schwarza
Dla dowolnych wektorów i spełniona jest nierówność
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy i są liniowo zależne.
Ortogonalność wektorów
(1) Definicja: Wektory i nazywamy ortogonalnymi, gdy zeruje się ich iloczyn skalarny, tj.