Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.
Przestrzenie unormowane pojawiają się w różnych działach matematyki, jak np. analiza matematyczna, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe.
Podwaliną powstania teorii przestrzeni unormowanych stały się badania zainicjowane przez matematyków w pierwszej połowie XX w. nad przestrzeniami Banacha. Przestrzeniami Banacha są przestrzenie unormowane, takie że norma indukuje metrykę, przy czym metryka ta ma szczególną własność – jest zupełna.
Teoria przestrzeni unormowanych, szczególnie teoria przestrzeni Banacha, jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.
Definicje: normy, przestrzeni unormowanej Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonychNiektórzy autorzy, jak na przykład Nicolas Bourbaki, podają ogólniejszą definicję przestrzeni unormowanej, dopuszczając by K było dowolnym pierścieniem waluacji z dzieleniem – nie jest to jednak powszechna praktyka..Odwzorowanie nazywa się normą w przestrzeni jeśli dla wszystkich elementów i skalarów spełnia następujące warunki: niezdegenerowania dodatniej jednorodności nierówności trójkąta (podaddytywności)
Przestrzeń z określoną normą nazywa się przestrzenią