Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że obraz przestrzeni X poprzez odwzorowanie jest gęstym podzbiorem w sensie -topologii. Ważną klasę przestrzeni unormowanych stanowią przestrzenie refleksywne, tzn. te przestrzenie unormowane dla których odwzorowanie jest suriekcją. Przestrzeń jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego, czy X ma tę własność, a więc każda unormowana przestrzeń refleksywna jest automatycznie przestrzenią Banacha.
Z każdą parą przestrzeni unormowanych można stowarzyszyć przestrzeń wszystkich ciągłych operatorów liniowych W przestrzeni wprowadza się normę wzorem
Ostatnie dwie równości mają sens tylko w przypadku, gdy jest przestrzenią nietrywialną.
Pseudonorma. Przestrzeń pseudounormowana Definicja 3.
Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych.Odwzorowanie nazywa się pseudonormą w przestrzeni jeśli dla wszystkich elementów i skalarów spełnia następujące warunki: dodatniej jednorodności nierówności trójkąta (podaddytywności)
Uwaga:
Powyższa funkcja nie spełnia 1-go warunku, określającego normę - niezdegenerowania) - tj. nie jest prawdą, że dla każdego