W przypadku, gdy jest nieskończeniewymiarowa, wykazanie istnienia funkcjonału liniowego, który nie jest ciągły, sprowadza się do skonstruowania przekształcenia które nie jest ograniczone. Niech dany będzie więc ciąg liniowo niezależnych wektorów Niech dla każdego dany będzie operator
Kolejny krok polega na uzupełnieniu tego ciągu liniowo niezależnych wektorów do bazy przestrzeni liniowej i określenie w pozostałych wektorach bazy jako równego zeru. Tak zdefiniowany można jednoznacznie rozszerzyć do operatora liniowego na a ponieważ nie jest on ograniczony, to nie może być ciągły.
Skorzystanie z faktu, iż dowolny zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić do bazy, jest niejawnym użyciem aksjomatu wyboru, co nie było konieczne w poprzednim przykładzie.
Aksjomat wyboru Jak pokazano wyżej, ogólne twierdzenie o istnieniu nieciągłych operatorów liniowych wymaga użycia aksjomatu wyboru (AC). Istotnie, nie ma niekonstruktywnych przykładów nieciągłych operatorów liniowych określonych w dziedzinie zupełnej (jak na przykład przestrzeni Banacha).