Dowód tego przypadku opiera się na tym, że dla dowolnej triangulacji czworokąta cyklicznego, suma promieni okręgów wpisanych w powstałe trójkąty nie zmienia się.

Rozważmy dwa przypadki triangulacji czworokąta:

W pierwszym przypadku, podzielmy czworokąt na trójkąty i oraz i . - W drugim przypadku, podzielmy czworokąt na trójkąty i oraz i .

Niezależnie od wybranej triangulacji, suma promieni okręgów wpisanych w trójkąty pozostaje ta sama. Dowód tego opiera się na twierdzeniu japońskim o czworokącie wpisanym. Środki tych okręgów tworzą prostokąt, a jego boki mają długości związane z promieniami okręgów wpisanych. Z tej własności wynika, że suma promieni dwóch par okręgów wpisanych jest równa, co dowodzi twierdzenia w przypadku czworokąta.

Po udowodnieniu przypadku czworokąta, przechodzimy do ogólnego przypadku dla wielokąta cyklicznego. Podzielmy wielokąt na trójkąty za pomocą triangulacji. W każdym przypadku, niezależnie od sposobu triangulacji, suma promieni okręgów wpisanych w powstałe trójkąty pozostaje stała.

Zasada ta wynika z faktu, że triangulacja może być zmieniana poprzez "obracanie" przekątnych, przy czym suma promieni okręgów wpisanych jest zachowywana w każdym przypadku. Dlatego suma promieni okręgów wpisanych w trójkąty powstałe przez triangulację wielokąta cyklicznego jest stała, q.e.d.

Przypisy

Kategoria:Twierdzenia o okręgach i wielokątach