30 czerwca 2003 roku podpisał dwuletni kontrakt z Burnley, po rozegraniu 50 meczów dla West Bromwich Albion. W nowej drużynie zadebiutował 9 sierpnia w przegranym 2:3 ligowym spotkaniu z Crystal Palace. Łącznie w sezonie 2003/2004 rozegrał 52 spotkania we wszystkich rozgrywkach. Pod koniec sezonu 2004/2005 przedłużył swój kontrakt z klubem o trzy lata. W czasie następnych lat Jensen był podstawowym bramkarzem Burnley, jedynie w sezonie 2007/2008 rozegrał poniżej 30 spotkań – 21. W maju 2008 roku podpisał z klubem nowy, dwuletni kontrakt.
W 2009 roku wraz ze swoim zespołem awansował do Premier League po zwycięstwie w finale barażów z Sheffield United. Jensen w meczu tym zagrał. 15 sierpnia w przegranym 2:0 meczu ze Stoke City Duńczyk zadebiutował w najwyższej klasie rozgrywkowej w Anglii. W sezonie 2009/2010 spadł z zespołem do Championship.
W 2013 roku Jensen odszedł do Bury z League Two. Następnie grał w Crawley Town z League One, a w 2015 roku przeszedł do Mansfield Town (League Two).