Ciało nazywamy ciałem algebraicznie domkniętym , jeżeli dowolny niestały wielomian z pierścienia posiada pierwiastek w .
Ze względu na twierdzenie Hilberta o zerach ciała algebraicznie domknięte pełnią kluczową rolę w klasycznej geometrii algebraicznej. Ponieważ nad ciałem algebraicznie domkniętym dowolna macierz daje się przedstawić w postaci Jordana, pełnią istotną rolę w algebrze liniowej. Własności równoważne Ciało jest algebraicznie domknięte wtedy i tylko wtedy, gdy: dowolny niestały wielomian z posiada pierwiastek. jedyne nierozkładalne wielomiany w to wielomiany liniowe dowolny wielomian z rozkłada się na czynniki liniowe. nie istnieje nietrywialne rozszerzenie algebraiczne ciała . dowolne odwzorowanie liniowe posiada wektor własny. dowolną macierz o współczynnikach z ciała można przedstawić w postaci Jordana. dowolny niesprzeczny układ równań wielomianowych nad ma rozwiązanie. dla ciała zachodzi teza słabego twierdzenia Hilberta o zerach: dowolny ideał maksymalny w pierścieniu jest postaci: . dla ciała zachodzi teza silnego twierdzenia Hilberta o zerach: istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między ideałami radykalnymi pierścienia a rozmaitościami algebraicznymi w przestrzeni afinicznej dana: .