pierwsze ważne wyniki uzyskał w dziedzinie analizy funkcjonalnej. Jednym z najbardziej znaczących rezultatów tych prac było rozwiązanie 49. problemu z „Księgi Szkockiej”, postawionego przez Banacha i MazuraS. Ulam, „The Scottish Book”, sent by Stan Ulam from Los Alamos to Professor Copson in Edinburgh on January 28, 1958: Twierdzenie Szlenka: „Nie istnieje ośrodkowa i refleksywna przestrzeń Banacha, która dla każdej ośrodkowej i refleksywnej przestrzeni Banacha zawierałaby podprzestrzeń z nią izomorficzną”W. Szlenk, The nonexistence of a separable reflexive Banach space universal for all separable reflexive Banach spaces, [w:] Studia Mathematica, 30, (1968), s. 53–61.
W pracy tej przyporządkował każdej przestrzeni Banacha, której przestrzeń sprzężona jest ośrodkowa, pewną liczbę porządkową związaną z geometrią danej przestrzeni. Liczba ta jest dziś nazywana indeksem Szlenka. Wspomniany wyżej wynik został później ulepszony przez Przemysława WojtaszczykaP. Wojtaszczyk, On separable Banach spaces containing all separable reflexive Banach spaces, [w:] Studia Mathematica, 37 (1970), s.