w związku z tym zdarza się, że bywa ono łączone z twierdzeniem Carathéodory’ego.
Twierdzenie Niech będzie algebrą podzbiorów zbioru oraz niech będzie σ-addytywną funkcją zbiorów spełniającą warunek
Jeżeli oznacza najmniejszą σ-algebrę podzbiorów zbioru która zawiera to istnieje miara określona na o tej własności, że dla każdego
Jeżeli istnieje taka rodzina przeliczalna że
oraz dla każdego
to rozszerzenie funkcji do miary jest wyznaczone jednoznacznie.
Dowód Dowód podzielony jest na dwie części. W pierwszej wykazuje się istnienie miary zewnętrznej skonstruowanej z przeliczalnie addytywnej funkcji zbiorów, co umożliwia skorzystanie z twierdzenia Carathéodory’ego, a następnie sprawdzenie, iż miara zewnętrzna zawężona do jest równa oraz, iż elementy są mierzalne. Druga część ustanawia jedyność rozszerzenia w przypadku, gdy jest σ-skończona.
Istnienie Miara zewnętrzna i twierdzenie Carathéodory’ego Funkcja gdzie oznacza zbiór potęgowy zbioru skonstruowana z jest postaci
i ma wszystkie własności miary zewnętrznej (monotoniczność, przeliczalną podaddytywność i znikanie na zbiorze pustym).