Jednoznaczność Załóżmy istnienie takich liczb gdzie że oraz Bez straty ogólności można założyć, że (jeśli jest odwrotnie, to liczby te można zamienić rolami).
Odejmując oba równania stronami otrzymuje się
Jeżeli to oraz a stąd Podobnie dla jest oraz co daje Łącząc obie te nierówności w jedną uzyskuje się
Wyjściowe równanie zapewnia, że jest dzielnikiem stąd lub Ponieważ dowiedziono już, że to z trychotomii można wnioskować, że pierwsza możliwość nie może zachodzić, dlatego
Podstawiając ten wynik do dwóch pierwszych równań daje a ponieważ to musi być co dowodzi jednoznaczności.
Uogólnienia
Jeśli oraz są liczbami rzeczywistymi, to wykonalne jest dzielenie przez bez reszty, przy czym iloraz jest inną liczbą rzeczywistą. Jeśli jednak ograniczyć iloraz tak, by był liczbą całkowitą, to pojęcie reszty nadal okazuje się niezbędne; zachodzi wtedy odpowiednik twierdzenia o dzieleniu: istnieje jednoznacznie wyznaczony iloraz całkowity oraz jednoznacznie wyznaczona reszta rzeczywista które spełniają gdzie wówczas
gdzie oznacza część całkowitą.